Diffusionmessungen

Es ist seit langem bekannt, daß sich mit Hilfe von Magnetfeldgradienten Diffusionskonstanten in Lösung mittels NMR bestimmen lassen [23]. Grundlage ist ein Spin-Echo-Experiment, wie es auch zur Messung von $T_2$-Zeiten benutzt wird. Auf Grund von Magnetfeldinhomogenitäten tritt nach dem 90°-Puls eine Auffächerung der Magnetisierungsvektoren auf. Ein 180°-Puls nach einer Zeit $\tau$ bewirkt eine Refokussierung der Magnetisierungsvektoren, welche nach $2\tau$ abgeschlossen ist. Auf diese Art und Weise kann man Intensitätsverluste aufgrund statischer Magnetfeldinhomogenitäten bei der Messung verhindern.

Abbildung 2.2: Pulsfolge zur Bestimmung von Diffusionskoeffizienten nach Stejskal und Tanner [23]

Zur Bestimmung von Diffusionskonstanten mittels NMR nutzt man gerade diesen Intensitätsverlust auf Grund eines inhomogenen Magnetfeldes aus. Abbildung 2.2 zeigt ein Pulsprogramm für die Messung von Diffusionskonstanten mittels NMR-Spektroskopie. Stört man das Magnetfeld $B_0$ zur Zeit $t$ und $2\tau-t-\delta$ mit einem Magnetfeldgradienten, so wird sich bei einem ortsfesten Kern die Signalintensität, wie oben gezeigt, nur um den Beitrag der Spin-Spin-Relaxation ändern.

Wandert der Kern allerdings auf Grund von Diffusion entlang des Magnetfeldgradienten an einen anderen Ort, so kann die Refokussierung nicht mehr vollständig gelingen, da sich das Magnetfeld am neuen Ort des Kerns verändert hat. Die durch Diffusion verringerte Signalintensität $S(2\, \tau)$ ist von der Gradientenstärke $g$, der Gradientenpulsdauer $\delta$, der Zeitkonstanten $\tau$ sowie der Diffusionskonstanten $D$ abhängig:

$$\log \frac{S(2\, \tau)}{S(0)} = {-\ D\, g^{2}\, \gamma^{2} \, \delta^{2}\ \Delta}$$ (2.8)

Nach Gleichung 2.8 hat man verschiedene Möglichkeiten, ein Experiment zur Bestimmung der Diffusionskonstanten durchzuführen. Dazu kann man die Gradientenstärke $g$, die Gradientenpulsdauer $\delta$ oder die Diffusionszeit $\Delta$ variieren.

Auf diese Art und Weise kann man $D$ für jede einzelne Resonanz im Spektrum bestimmen. Für alle Resonanzen eines Moleküls sollten identische Werte für $D$ erhalten werden. Daher kann man solche Messungen allgemein zur Selektion von Resonanzen mittels Diffusionskonstanten benutzen. In der vorliegenden Arbeit wurde diese Technik zur Mischungsanalyse benutzt, um die Resonanzen der einzelnen Bestandteile voneinander zu trennen und diesen zuzuordnen.

Experimentelle Durchführung

Während der Untersuchungen hat sich jedoch herausgestellt, daß die oben beschriebene Vorgehensweise nur zu unbefriedigenden, nicht reproduzierbaren Ergebnissen führt. Das Gelingen der Messung hängt entscheidend von Qualität und Stärke der verwendeten Gradienten ab.

Beide Gradientenpulse müssen absolut identisch in Form und Intensität über alle Meßzyklen sein. Bei starken Pulsen, wie sie zur Bestimmung von $D$ benötigt werden, tritt zudem eine Störung der Magnetfeldes auch noch nach dem Abschalten des Gradienten auf. Daher wirkt der erste Gradientenpuls effektiv länger als der zweite, welches zu einer unvollständigen Refokussierung der Magnetisierung durch den 180°-Puls führt.

Es wurde eine Reihe unterschiedlicher Experimente durchgeführt, wobei sowohl geeignete Eichsubstanzen als auch schwieriger zu handhabende viskose Lösungen von Alumiumsilikaten untersucht wurden. Systematische Fehler können dabei durch Konvektion und chemischen Austausch enstehen. Eine deutliche Begrenzung erfährt die Bestimmung von Diffusionskonstanten mittels NMR durch die beschleunigte Spin-Spin-Relaxation wenn die Moleküle groß sind und die Viskosität erhöht ist. In diesen Fällen dominiert die unerwünschte Abnahme der Magnetisierung durch Relaxation über die beobachtbare Abnahme durch Diffusion. Daher bieten in einer solchen Situation Pulssequenzen einen Vorteil, die während eines möglichst großen Teils der Diffusionszeit die Magnetisierung in Richtung der z-Achse halten. So kann der Spin-Spin-Relaxationsanteil im Signalverlust minimiert werden und gleichzeitig der Diffusionsanteil durch längere Diffusionszeiten erhöht werden.

Abbildung 2.3: Pulsfolge zur Bestimmung von Diffusionskoeffizienten nach Johnson et al. [24]

Johnson et al.[24] haben ein Experiment entwickelt, in welchem sich Effekte durch nicht perfekte Gradientenpulse und $T_2$-Relaxation mit Gradientenpulsen unterschiedlicher Vorzeichen entscheidend reduzieren lassen.

Die Pulssequenz in Abbildung 2.3 besteht aus einer Folge von zwei Spin-Echo Sequenzen. Die 90°-Pulse am Ende der ersten Sequenz und am Anfang der zweiten Folge dienen zum ``speichern'' bzw. ``auslesen'' der Magnetisierung. Das Signal wird bei dieser Vorgehensweise mehrmals durch Diffusion modifiziert. Diffusion wirkt, wie oben gezeigt, während der zwei Spin-Echo-Sequenzen. Durch den Gradientenpuls in umgekehrter Richtung wird die Magnetisierung jedoch nicht wieder fokusiert sondern noch weiter dephasiert. Der anschließende 90°-Puls bewirkt eine Drehung der Magnetisierungsvektoren aus der transversalen XY-Ebene in die longitudinale XZ-Ebene und wird so gegen Spin-Spin-Relaxation geschützt.

Während der nun folgenden Diffusionszeit tritt keine weitere Dephasierung der Magnetisierung ein. Durch die zweite Sequenz wird die Magnetisierung wieder in der transversalen Ebene refokusiert und anschließend detektiert. Die Refokusierung gelingt um so besser, je weniger sich das B-Feld am Ort des Kerns geändert hat.

Insgesamt führt diese Vorgehensweise zu einer wesentlich längeren Diffusionszeit $\Delta$. Der Einfluß der Diffusion auf die Signalintensität wird größer im Vergleich zur einfachen Sequenz und ist somit mit höherer Genauigkeit zu bestimmen. In einem solchen Experiment wird die Signalintensität $S$ als Funktion der Gradientenstärke $g$ durch Gleichung 2.9 beschrieben:

$$\log \frac{S(g)}{S(0)} = {-\ D\ g^{2}\ \gamma^{2} \ \delta^{2}\ (\Delta-\frac{\delta}{3}-\frac{\tau}{2})} <tex2html_comment_mark>59$$ (2.9)

Bei der Durchführung eines derartigen Experiments hält man zweckmäßigerweise die zeitliche Abfolge des Experimentes konstant. Denn neben des Intensitätsverlustes aufgrund der Diffusion wird während der Zeit $\tau$ Spin-Spin Relaxation stattfinden. Bei konstantem zeitlichen Verlauf des Experiments ist der Beitrag der Spin-Spin Relaxation immer gleich und braucht deshalb nicht weiter berücksichtigt zu werden. Die einzige zeitunkritische Variable in Gleichung 2.9 ist die Gradientenstärke $g$.

Zur Bestimmung von $D$ nimmt man daher einige 1D-Spektren mit unterschiedlicher Gradientenstärke $g$ auf. Trägt man den Logarithmus der Signalintensität als Funktion von $g^2$ auf, so ergibt sich nach Gleichung 2.9 eine Gerade mit der Steigung m:

$$m = -\ D\ \gamma^{2} \ \delta^{2}\ (\Delta-\frac{\delta}{3}-\frac{\tau}{2})$$ (2.10)

Diese Steigung läßt sich leicht durch lineare Regression bestimmen. Aus $m$ kann man dann $D$ berechnen. Solche Messungen lassen sich prinzipiell mit allen NMR-aktiven Kernen einer Probe durchführen.

Führt man eine solche lineare Regression an allen Datenpunkten des Spektrums durch, deren Intensität über dem Rauschen liegt, erhält man ein Diffusionsspektrum, welches die Diffusionskonstante $D$ oder die Steigung $m$ als Funktion der chemischen Verschiebung darstellt.

Linien gleicher Höhe entsprechen in dieser Darstellung gleichen Diffusionskonstanten und gehören somit mit hoher Wahrscheinlichkeit zu dem selben Molekül. Damit steht eine einfache Methode zur Analyse von Mischungen mittels NMR-Spektroskopie zur Verfügung.

Überprüfung der Methode zur Bestimmung von Diffusionskoeffizienten

Vor der eigentlichen Bestimmung von Diffusionskonstanten mit Hilfe eines solchen Experiments an den Vorstufen mullitischer Keramiken mußte die Methode an einem System mit bekannter Diffusionskonstante $D$ überprüft werden. Auf Grund der Verfügbarkeit und der vorhandenen Vergleichswerte aus der Literatur [16] wurde Tetrahydrofuran (THF) gewählt.

Die Gradientenstärke wurde in einem Bereich von $0,05\,T m^{-1}$ bis $0,5\, T m^{-1}$ variiert ( $\Delta = 100\ 10^{-3}s, \delta = 2\ 10^{-3}s$). Für die beiden Resonanzen des THF im Protonenspektrum bei 3,60 und 1,78 ppm wurden jeweils getrennt die Diffusionskonstanten bei 298 K bestimmt:

$$D_{3,6 \text{ppm}} = 2,18 \cdot 10^{-9}\, \frac{m^2}{s}$$

$$D_{1,78 \text{ppm}} = 2,27 \cdot 10^{-9}\, \frac{m^2}{s}$$

$$D_{Lit} = 2,8 \cdot 10^{-9} \frac{m^2}{s}\,$$

In Abbildung 2.4 sind die entsprechenden Meßwerte graphisch dargestellt.

Die gemessenen Werte liegen etwa 30% unter dem Literaturwert. Eine Ursache könnte in einem unzureichend kalibrierten Gradientensystem liegen.

Es war aus meßtechnischen Gründen jedoch nicht möglich, genauere Ergebnisse zu erzielen. Wichtig für die Identifikation einzelner Moleküle in einer Mischung, welche die zu untersuchenden supramolekularen Systeme darstellen, ist eine Vergleichbarkeit der Steigung $m$ für die einzelnen Resonanzen eines Moleküls. Nur dann lassen sich Diffusionsmessungen erfolgreich bei der Analyse von supramolekularen Systemen einsetzen.

Abbildung 2.4: Diffusionsmessung an THF mit der Protonensonde. Als Ergebnisse ergibt sich eine Diffusionskonstante von $D=2.2\cdot 10^{-9} m^2/s$ (Literaturwert: $2.8\cdot 10^{-9} m^2/s$) [16].

Diese Vergleichbarkeit ist bei den Messungen an THF eindeutig gegeben. An THF wurde auch untersucht, ob sich auch $^{13}C$ als Diffusionssonde eignet. Dies ist bei der Untersuchung der supramolekularen Vorstufen wünschenswert, da im $^{13}C$-Spektrum die Resonanzen im Vergleich zu den $^{1}H$- Signale besser voneinander getrennt sind. Dazu mußte die Pulssequenz in Abbildung 2.3 dahingehend modifiziert werden, daß während der Akquisition eine Entkoppelung der Protonen durchgeführt wurde. Man erhält dabei um einen Faktor von zwei kleinere Diffusionskonstanten, nämlich:

$$D_{68,15\text{ppm}} = 1,21 \cdot 10^{-9} \frac{m^2}{s}$$

$$D_{26,3 \text{ppm}} = 1,16 \cdot 10^{-9} \frac{m^2}{s}$$

Aber auch mit $^{13}C$ als Sonde zur Diffusionsmessung sind die für die beiden Resonanzen erhaltenen Konstanten miteinander vergleichbar.

Somit können prinzipiell $^{1}H$  und $^{13}C$  Kerne als Sonden zur Analyse komplexer Mischungen verwendet werden.